Définition
Définition :commutateur de deux matrices ou opérateurs comme : $$\begin{align}{{[\hat A,\hat B]}}&={{\hat A\hat B-\hat B\hat A}}\\ {{[\mathscr A,\mathscr B]}}&={{\mathscr A\mathscr B-\mathscr B\mathscr A}}\end{align}$$
(
Matrice ,
Opérateur )
Propriétés
Antisymétrie
Antisymétrie : $$[\hat A,\hat B]={{-[\hat B,\hat A]}}$$
Bilinéarité
bilinéarité : $$\begin{align}{{[\hat A,\lambda\hat B+\mu\hat C]}}&={{\lambda[\hat A,\hat B]+\mu[\hat A,\hat C]}}\end{align}$$
Avec des produits
Proposition : $${{[\hat A,\hat B\hat C]}}={{ \hat B[\hat A,\hat C]+[\hat A,\hat B]\hat C}}$$
Proposition : $${{[\hat A\hat B,\hat C]}}={{\hat A[\hat B,\hat C]+[\hat A,\hat C]\hat B}}$$
Identités en mécanique quantique (avec opérateurs position et impulsion)
Exemple : $$[\hat x,\hat y]={{0}}$$
Exemple : $$[\hat p_x,\hat p_y]={{0}}$$
Exemple : $$[\hat x,\hat p_y]={{0}}$$
Proposition : $$[{{\hat x}},{{\hat p}}]={{i\hbar}}$$
Proposition : $$[{{\hat x}},{{\hat p^2}}]={{2i\hbar\hat p}}$$
Proposition : $$[{{\hat x}},{{\hat p^n}}]={{ni\hbar\hat p^{n-1} }}$$
Proposition : $$[{{\hat x}},{{g(\hat p)}}]={{i\hbar\frac\partial{\partial p}g(\hat p)=i\hbar g^\prime(\hat p)}}$$
